bilinear transformation

Transformations Bilinéaires : Un Pont Entre Filtres Analogiques et Numériques

Le monde du traitement du signal repose largement sur les filtres, qui modifient sélectivement les fréquences présentes dans un signal. Alors que les filtres analogiques fonctionnent sur des signaux en temps continu, les filtres numériques fonctionnent avec des signaux en temps discret échantillonnés à des intervalles spécifiques. Un outil crucial reliant ces deux domaines est la **transformation bilinéaire**, un outil mathématique puissant permettant de transformer les filtres analogiques en leurs équivalents numériques.

Comprendre la Transformation Bilinéaire

Au cœur de la transformation bilinéaire se trouve une **transformation conforme** du plan complexe, représentée par la fonction :

f(z) = (az + b) / (cz + d)

où a, b, c et d sont des nombres réels satisfaisant la condition ad - bc ≠ 0. Cette transformation est également connue sous le nom de **transformation fractionnaire linéaire** ou **transformation de Möbius**.

L'importance de cette transformation réside dans sa capacité à préserver les angles et les formes, des propriétés cruciales en traitement du signal. Elle transforme des points et des lignes dans le plan complexe, permettant la manipulation des caractéristiques de fréquence.

D'Analogique à Numérique : La Clé de la Conception de Filtres

Un cas particulier de la transformation bilinéaire joue un rôle vital dans la conception de filtres numériques. Il mappe l'axe imaginaire (jω) dans le plan complexe s, représentant les fréquences analogiques, vers le cercle unité (|z| = 1) dans le plan complexe z, représentant les fréquences numériques. Cette transformation est définie par :

*s = (2/T) * (1 - z⁻¹) / (1 + z⁻¹) *

où T est l'intervalle d'échantillonnage.

Cette transformation agit comme un pont entre les domaines analogique et numérique, permettant la conception de filtres numériques à partir de filtres analogiques équivalents. Le processus implique quatre étapes clés :

1. Définir les fréquences numériques caractéristiques (ωi) : Ces fréquences représentent les caractéristiques de filtre souhaitées dans le domaine numérique.
2. Pré-distordre les fréquences numériques en fréquences analogiques (ωi) : Cette étape cruciale garantit un mappage de fréquence précis en utilisant la formule ωi = (2/T) * tan(ωi * T / 2).
3. Concevoir un filtre analogique avec les fréquences pré-distordues (ωi) : Cette étape utilise des techniques établies de conception de filtres analogiques pour créer le comportement de filtre souhaité.
4. Remplacer 's' dans le filtre analogique par la transformation bilinéaire : Cette dernière étape transforme la fonction du filtre analogique en son équivalent numérique, prêt à être implémenté.

Avantages et Limites

La transformation bilinéaire offre plusieurs avantages dans la conception de filtres numériques :

• Conversion simple : Elle permet une transformation directe des conceptions de filtres analogiques vers leurs homologues numériques.
• Préservation de la fréquence : Elle préserve les caractéristiques de fréquence relatives du filtre analogique original, garantissant un comportement de filtre précis dans le domaine numérique.
• Flexibilité : Elle peut être appliquée à divers types de filtres, y compris les filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande.

Cependant, la transformation bilinéaire présente également des limites :

• Distorsion de fréquence : Elle introduit un mappage non linéaire des fréquences, pouvant entraîner de légères distorsions de fréquence.
• Précision limitée : Elle peut introduire des imprécisions, en particulier à des fréquences plus élevées, en raison de l'effet de distorsion de fréquence.

Malgré ces limites, la transformation bilinéaire reste un outil puissant pour la conception de filtres numériques, permettant le développement de filtres numériques efficaces et performants à partir de conceptions de filtres analogiques existantes. Elle joue un rôle vital pour combler le fossé entre le traitement du signal analogique et numérique, ouvrant la voie à l'utilisation généralisée des filtres numériques dans diverses applications.