backprojection

rétroprojection : reconstruction d'images à partir de projections

Dans le domaine de l'ingénierie électrique et de l'imagerie médicale, le concept de rétroprojection joue un rôle crucial dans la reconstruction d'images à partir de leurs projections. Ce processus consiste essentiellement à « inverser » l'opération de projection, en prenant une série d'intégrales de ligne de l'image et en les utilisant pour récupérer l'image originale.

Comprendre la transformée de Radon

Pour comprendre la rétroprojection, nous devons d'abord saisir la transformée de Radon, une opération mathématique qui transforme une fonction 2D (comme une image) en une série de projections. Imaginez que vous éclairez un objet avec un faisceau de lumière sous différents angles. La transformée de Radon capture l'intensité de la lumière lorsqu'elle traverse l'objet, mesurant essentiellement la « luminosité » le long de chaque ligne.

Formellement, la transformée de Radon est représentée comme :

\(Z g(s, \theta) = \int\int f(x, y) \delta(x \cos \theta + y \sin \theta - s) \, dx \, dy \)

où :

• f(x, y) représente la fonction image originale.
• g(s, θ) est la donnée de projection, s représentant la distance le long de la ligne de projection et θ représentant l'angle de la ligne.
• δ est la fonction delta de Dirac, qui sélectionne la valeur de la fonction le long de la ligne x cos θ + y sin θ = s.

L'opérateur de rétroprojection

L'opérateur de rétroprojection prend les données de projection, g(s, θ ), et reconstruit une image en « étalant » les données sur l'espace original. Cet « étalement » s'effectue en prenant l'intégrale des données de projection le long de toutes les lignes passant par un point donné (x, y) :

\(b(x, y) = \int g(x \cos \theta + y \sin \theta, \theta) \, d\theta \)

Ici, b(x, y) représente l'image reconstruite.

La rétroprojection en action

L'opérateur de rétroprojection somme essentiellement tous les rayons de projection passant par un point donné, ce qui donne une image floue. Bien que ce ne soit pas la reconstruction finale, elle représente la première étape de nombreuses techniques de reconstruction d'images. Pour obtenir une image plus claire, un algorithme de rétroprojection filtrée est souvent utilisé, qui applique un filtre aux données de projection avant la rétroprojection, éliminant l'effet de flou.

Applications de la rétroprojection

La rétroprojection trouve de larges applications dans divers domaines :

• Imagerie médicale : Les scanners de tomodensitométrie (TDM) utilisent la rétroprojection pour reconstruire des images 3D du corps à partir de projections de rayons X.
• Imagerie sismique : La rétroprojection est utilisée pour reconstruire des images souterraines de structures géologiques à partir de données d'ondes sismiques.
• Radar et sonar : Les algorithmes de rétroprojection sont utilisés pour créer des images à partir de données radar et sonar, permettant la détection d'objets et la cartographie.

Conclusion

La rétroprojection est un concept fondamental dans la reconstruction d'images, qui nous permet de reconstruire des images à partir de leurs projections. Bien que l'opérateur de rétroprojection basique produise une image floue, il constitue une étape cruciale dans des algorithmes plus sophistiqués comme la rétroprojection filtrée, conduisant à des images claires et détaillées dans diverses applications. La compréhension de ce processus fournit un aperçu précieux du monde du traitement du signal et de la reconstruction d'images.