Dans le domaine de la théorie du contrôle, comprendre comment un système se comporte sous diverses entrées est crucial pour atteindre les résultats souhaités. Pour les systèmes à temps discret, un concept fondamental dans cette entreprise est l'**ensemble atteignable**. Cet article se penche sur le concept de l'ensemble atteignable, soulignant son importance dans l'analyse de la contrôlabilité des systèmes discrets.
L'ensemble atteignable, noté K(t₀, t₁), représente la collection de tous les états possibles qu'un système discret peut atteindre au temps t₁ en partant de conditions initiales nulles au temps t₀. En d'autres termes, il encapsule l' "espace atteignable" du système au sein de l'intervalle de temps spécifié.
Mathématiquement, l'ensemble atteignable est défini comme suit :
K(t₀, t₁) = {x ∈ ℝⁿ | x = Σ_(j=t₀)^(t₁-1) F(t₁, j+1)B(j)u(j)}
où :
Cette définition souligne que l'ensemble atteignable est construit en appliquant toutes les séquences d'entrée possibles u(j) sur l'intervalle [t₀, t₁] et en observant les vecteurs d'état résultants x.
Le concept de l'ensemble atteignable est étroitement lié à la notion de **contrôlabilité**. Un système discret est dit **contrôlable** dans l'intervalle [t₀, t₁] si tout état x dans l'espace d'état peut être atteint à partir de l'état initial x(t₀) en utilisant une séquence d'entrée appropriée.
Il est important de noter que la contrôlabilité d'un système discret dans un intervalle de temps donné est directement liée à son ensemble atteignable. Le système est **contrôlable** dans [t₀, t₁] si et seulement si son ensemble atteignable K(t₀, t₁) englobe l'ensemble de l'espace d'état ℝⁿ.
Exemple : Considérons un système avec un espace d'état à 2 dimensions. Si l'ensemble atteignable K(t₀, t₁) est une ligne dans cet espace, le système n'est pas contrôlable car il ne peut pas atteindre les états en dehors de cette ligne. Cependant, si K(t₀, t₁) englobe l'ensemble de l'espace à 2 dimensions, le système est contrôlable.
Le concept de l'ensemble atteignable s'avère précieux dans diverses applications liées à la contrôlabilité :
L'ensemble atteignable est un concept fondamental dans l'analyse des systèmes à temps discret. Il fournit un outil puissant pour comprendre la contrôlabilité, concevoir des contrôleurs optimaux et effectuer l'analyse d'atteignabilité. En tirant parti des informations tirées de l'ensemble atteignable, les chercheurs et les ingénieurs peuvent acquérir une compréhension plus approfondie du comportement du système et développer des stratégies de contrôle efficaces pour une large gamme d'applications.
Instructions: Choose the best answer for each question.
1. What does the attainable set, K(t₀, t₁), represent?
a) The collection of all possible states a system can reach at time t₁ starting from zero initial conditions at time t₀. b) The set of all possible input sequences that can be applied to the system. c) The set of all possible initial states the system can start from. d) The set of all possible output signals the system can produce.
a) The collection of all possible states a system can reach at time t₁ starting from zero initial conditions at time t₀.
2. Which of the following is NOT a factor in determining the attainable set?
a) The initial state of the system. b) The input matrix at each time step. c) The state transition matrix at each time step. d) The output matrix at each time step.
d) The output matrix at each time step.
3. A discrete system is considered controllable in the interval [t₀, t₁] if:
a) Its attainable set is empty. b) Its attainable set spans the entire state space. c) Its attainable set is a single point. d) Its attainable set is a line in the state space.
b) Its attainable set spans the entire state space.
4. What is the practical significance of the attainable set concept?
a) It helps determine the stability of a system. b) It helps design controllers that achieve desired states. c) It helps understand the system's response to different inputs. d) All of the above.
d) All of the above.
5. Which of the following is NOT a potential application of the attainable set concept?
a) Analyzing the controllability of a system. b) Designing optimal control strategies. c) Predicting the future behavior of a system. d) Determining the stability of a system.
d) Determining the stability of a system.
Problem: Consider a discrete-time system with the following state-space representation:
Task: Determine the attainable set K(0, 2) for this system.
The attainable set K(0, 2) is the set of all possible states the system can reach at time t = 2, starting from zero initial conditions at time t = 0.
We can calculate the attainable set using the formula:
K(0, 2) = {x ∈ ℝ² | x = Σ_(j=0)^(1) F(2, j+1)B(j)u(j)}
For t = 2, j = 0 and j = 1.
So, we have:
x = F(2, 1)B(0)u(0) + F(2, 2)B(1)u(1)
F(2, 1) = F * F = [[1 1], [0 1]] * [[1 1], [0 1]] = [[1 2], [0 1]]
F(2, 2) = F = [[1 1], [0 1]]
Therefore,
x = [[1 2], [0 1]] * [[1], [0]] * u(0) + [[1 1], [0 1]] * [[1], [0]] * u(1)
x = [[1], [0]] * u(0) + [[1], [0]] * u(1)
x = [[u(0) + u(1)], [0]]
Thus, the attainable set K(0, 2) is the set of all states of the form [u(0) + u(1), 0], where u(0) and u(1) are arbitrary inputs.
This means that the system can reach any state on the x-axis, but cannot reach any state with a non-zero y-coordinate. Therefore, the system is not controllable in the interval [0, 2].
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