Dans le monde de la robotique, comprendre comment les mouvements d'un robot sont liés à ses configurations articulaires est crucial. La **Jacobienne analytique** joue un rôle essentiel dans cette analyse, fournissant un pont mathématique entre l'espace articulaire du robot et son espace de travail.
**Qu'est-ce que la Jacobienne Analytique ?**
La Jacobienne analytique est une matrice qui représente la relation entre les vitesses articulaires du robot (q̇) et les vitesses linéaires et angulaires correspondantes de son effecteur final (ẋ et φ̇). Elle est dérivée en différenciant l'équation cinématique directe, qui décrit la position et l'orientation de l'effecteur final en fonction des variables articulaires, par rapport à ces variables articulaires.
**Représentation Formelle :**
Mathématiquement, la Jacobienne analytique (JA(q)) est exprimée comme suit :
Où :
**Relation avec la Jacobienne Géométrique :**
La Jacobienne analytique est étroitement liée à la **Jacobienne géométrique**. La Jacobienne géométrique relie les vitesses articulaires à la vitesse de l'effecteur final dans un référentiel fixe, généralement le référentiel de base du robot. La principale différence réside dans la représentation de la vitesse angulaire de l'effecteur final (φ̇).
La Jacobienne analytique ne représente pas directement φ̇ dans le référentiel de base. Au lieu de cela, elle utilise la vitesse angulaire de l'effecteur final dans son propre référentiel. Cette différence est prise en compte par une matrice de transformation, TA(φ), qui dépend de la représentation spécifique de l'orientation utilisée.
**La Matrice de Transformation :**
TA(φ) devient une matrice identité lorsque les axes de rotation dans l'espace de travail et le référentiel de l'effecteur final sont alignés.
**Applications de la Jacobienne Analytique :**
La Jacobienne analytique trouve de nombreuses applications en robotique, notamment :
**En conclusion :**
La Jacobienne analytique est un concept fondamental en robotique, fournissant un outil puissant pour comprendre et contrôler les mouvements des robots. En reliant les vitesses articulaires aux vitesses de l'effecteur final, elle permet une analyse et une manipulation efficaces des systèmes robotiques. Elle sert de base cruciale pour diverses applications robotiques, de la planification de trajectoire aux algorithmes de contrôle.
Instructions: Choose the best answer for each question.
1. What does the Analytical Jacobian represent in robotics? a) The relationship between joint positions and end-effector positions. b) The relationship between joint velocities and end-effector velocities. c) The relationship between joint torques and end-effector forces. d) The relationship between joint angles and end-effector orientation.
b) The relationship between joint velocities and end-effector velocities.
2. How is the Analytical Jacobian derived? a) By integrating the direct kinematic equation. b) By differentiating the inverse kinematic equation. c) By differentiating the direct kinematic equation with respect to joint variables. d) By multiplying the geometric Jacobian by a transformation matrix.
c) By differentiating the direct kinematic equation with respect to joint variables.
3. What is the key difference between the Analytical Jacobian and the Geometric Jacobian? a) The Analytical Jacobian considers joint velocities, while the Geometric Jacobian considers joint positions. b) The Analytical Jacobian represents angular velocity in the end-effector frame, while the Geometric Jacobian represents it in the base frame. c) The Analytical Jacobian is used for inverse kinematics, while the Geometric Jacobian is used for trajectory planning. d) The Analytical Jacobian is a square matrix, while the Geometric Jacobian is a rectangular matrix.
b) The Analytical Jacobian represents angular velocity in the end-effector frame, while the Geometric Jacobian represents it in the base frame.
4. Which of the following is NOT an application of the Analytical Jacobian? a) Solving for joint configurations to achieve a desired end-effector pose. b) Determining the robot's joint stiffness. c) Generating smooth and efficient paths for the robot's end-effector. d) Implementing feedback control strategies for robot movement.
b) Determining the robot's joint stiffness.
5. When does the transformation matrix, TA(φ), become an identity matrix? a) When the robot is at its home position. b) When the rotation axes in the task space and end-effector frame align. c) When the robot is in a singular configuration. d) When the end-effector is moving at constant velocity.
b) When the rotation axes in the task space and end-effector frame align.
Task:
Consider a simple 2-link planar robot arm with links of length L1 and L2. The robot's joints are revolute (rotating) joints with angles θ1 and θ2.
Note: The end-effector position is defined as the tip of the second link (L2).
**1. Direct Kinematic Equation:** The end-effector position (x, y) can be calculated as follows: * x = L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2) * y = L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2) Therefore, k(q) = [L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2), L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2)] **2. Analytical Jacobian:** JA(q) = ∂k(q)/∂q = [∂k(q)/∂θ1, ∂k(q)/∂θ2] Calculating the partial derivatives: * ∂k(q)/∂θ1 = [-L1 * sin(θ1) - L2 * sin(θ1 + θ2), L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2)] * ∂k(q)/∂θ2 = [-L2 * sin(θ1 + θ2), L2 * cos(θ1 + θ2)] Therefore, the Analytical Jacobian JA(q) is: JA(q) = [[-L1 * sin(θ1) - L2 * sin(θ1 + θ2), L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2)], [-L2 * sin(θ1 + θ2), L2 * cos(θ1 + θ2)]]
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