2-D general model

Dévoiler le modèle général 2-D : une base pour les systèmes multidimensionnels en génie électrique

Le monde du génie électrique transcende souvent les limitations des systèmes unidimensionnels, s'aventurant dans le domaine des signaux et des processus multidimensionnels. Pour modéliser ces phénomènes complexes, le modèle général 2-D émerge comme un outil puissant, offrant un cadre complet pour comprendre et analyser les systèmes évoluant sur deux dimensions spatiales.

Le modèle général 2-D : une description mathématique

Au cœur du modèle général 2-D se trouve une représentation mathématique du comportement d'un système à l'aide d'un ensemble d'équations. Le modèle capture la relation entre l'état d'un système, ses entrées et ses sorties sur une grille bidimensionnelle. Cette grille peut représenter divers phénomènes physiques, tels que la distribution spatiale de la tension dans un circuit ou le comportement des pixels d'une image dans un système de traitement d'images numériques.

Les équations définissant le modèle général 2-D sont les suivantes :

Équation d'état : x{i+1,j+1} = A0x{i,j} + A1x{i+1,j} + A2x{i,j+1} + B0u{i,j} + B1u{i+1,j} + B2u_{i,j+1}

Équation de sortie : y{i,j} = Cx{i,j} + Du_{i,j}

Où :

• x_{i,j} ∈ R^n: Représente le vecteur d'état local à la position (i,j) sur la grille.
• u_{i,j} ∈ R^m: Représente le vecteur d'entrée à la position (i,j).
• y_{i,j} ∈ R^p: Représente le vecteur de sortie à la position (i,j).
• Ak, Bk (k = 0, 1, 2), C, D: Des matrices réelles définissant la dynamique du système et comment les entrées et l'état influencent la sortie.

Cas particuliers : les modèles de Fornasini–Marchesini

Le modèle général 2-D englobe deux cas particuliers importants connus sous le nom de modèles de Fornasini–Marchesini :

• Premier modèle de Fornasini–Marchesini 2-D : Obtenu en posant B1 = B2 = 0. Ce modèle se concentre sur l'influence des variables d'état voisines sur l'état actuel.
• Deuxième modèle de Fornasini–Marchesini 2-D : Obtenu en posant A0 = 0 et B0 = 0. Ce modèle met l'accent sur l'impact direct de l'entrée sur l'état actuel, négligeant l'influence des états voisins.

Ces cas particuliers permettent une analyse ciblée de systèmes spécifiques où certaines influences sont dominantes.

Applications du modèle général 2-D

Le modèle général 2-D trouve des applications dans divers domaines du génie électrique, notamment :

• Traitement d'images : Modéliser le comportement des filtres d'images et analyser les transformations d'images.
• Systèmes de contrôle : Concevoir des contrôleurs pour des systèmes distribués spatialement comme des bras robotisés ou des processus de fabrication automatisés.
• Analyse de circuits : Comprendre le comportement des circuits multidimensionnels et modéliser la distribution des signaux à travers les circuits.
• Traitement du signal : Analyser et filtrer des signaux multidimensionnels comme ceux trouvés dans les radars ou l'imagerie médicale.

Conclusion :

Le modèle général 2-D fournit un cadre polyvalent pour analyser et contrôler des systèmes multidimensionnels en génie électrique. Sa capacité à tenir compte des variations spatiales et des interactions entre les points voisins en fait un outil puissant pour aborder des problèmes complexes dans le traitement d'images, le contrôle et d'autres domaines connexes. Les modèles de Fornasini–Marchesini offrent des informations spécifiques sur les systèmes où certains aspects du modèle sont dominants, ce qui améliore encore l'applicabilité du modèle dans des scénarios réels.