bilinear transformation

تحويلات ثنائية الخط: جسور بين مرشحات التناظرية والرقمية

يعتمد عالم معالجة الإشارات بشكل كبير على المرشحات، التي تعدّل بشكل انتقائي الترددات الموجودة في إشارة ما. بينما تعمل مرشحات التناظرية على إشارات ذات وقت مستمر، تعمل المرشحات الرقمية على إشارات ذات وقت منفصل يتم أخذ عينات منها على فترات محددة. أداة حاسمة تربط هذين المجالين هي **التحويل الثنائي الخطي**، وهي أداة رياضية قوية لتحويل المرشحات التناظرية إلى نظائرها الرقمية.

فهم التحويل الثنائي الخطي

في جوهره، التحويل الثنائي الخطي هو **خريطة مطابقة** للطائرة المعقدة، يتم تمثيلها بالدالة:

f(z) = (az + b) / (cz + d)

حيث a و b و c و d أرقام حقيقية تحقق الشرط ad - bc ≠ 0. وتعرف هذه التحويلات أيضًا باسم **التحويل الخطي الكسري** أو **تحويل Möbius**.

تكمن أهمية هذه الخريطة في قدرتها على الحفاظ على الزوايا والأشكال، وهي خصائص مهمة في معالجة الإشارات. إنها تحول النقاط والخطوط في الطائرة المعقدة، مما يسمح بالتلاعب بخصائص التردد.

من التناظرية إلى الرقمية: مفتاح تصميم المرشحات

تلعب حالة خاصة من التحويل الثنائي الخطي دورًا حيويًا في تصميم المرشحات الرقمية. إنها تعين المحور التخيلي (jω) في طائرة s المعقدة، التي تمثل الترددات التناظرية، على الدائرة الوحدوية (|z| = 1) في طائرة z المعقدة، التي تمثل الترددات الرقمية. يتم تعريف هذه الخريطة بواسطة:

*s = (2/T) * (1 - z⁻¹) / (1 + z⁻¹) *

حيث T هو فاصل الزمن بين العينات.

يعمل هذا التحويل كجسر بين المجالين التناظري والرقمي، مما يسمح بتصميم المرشحات الرقمية من مرشحات تناظرية مكافئة. تتضمن العملية أربع خطوات رئيسية:

1. تحديد الترددات الرقمية المميزة (ωi): تمثل هذه الترددات خصائص المرشح المطلوبة في المجال الرقمي.
2. إعادة تحويل الترددات الرقمية إلى الترددات التناظرية (ωi): هذه الخطوة مهمة لضمان دقة خريطة التردد باستخدام الصيغة ωi = (2/T) * tan(ωi * T / 2).
3. تصميم مرشح تناظري بالترددات المُعاد تحويلها (ωi): تستخدم هذه الخطوة تقنيات تصميم مرشح تناظري راسخة لإنشاء سلوك المرشح المطلوب.
4. استبدال 's' في المرشح التناظري بتحويل ثنائي الخطي: تُحول هذه الخطوة النهائية دالة المرشح التناظري إلى نظيرها الرقمي، جاهزة للتنفيذ.

المزايا والقيود

يوفر التحويل الثنائي الخطي العديد من المزايا في تصميم المرشحات الرقمية:

• تحويل بسيط: يسمح بتحويل مباشر لتصاميم المرشحات التناظرية إلى نظائرها الرقمية.
• الحفاظ على التردد: يُحافظ على خصائص التردد النسبية للمرشح التناظري الأصلي، مما يضمن دقة سلوك المرشح في المجال الرقمي.
• المرونة: يمكن تطبيقه على أنواع مختلفة من المرشحات، بما في ذلك المرشحات منخفضة التمرير، وعالية التمرير، ونطاق التمرير، ونطاق الوقف.

ومع ذلك، فإن التحويل الثنائي الخطي له أيضًا قيود:

• تشوه التردد: يُدخِل خريطة غير خطية للترددات، مما قد يؤدي إلى تشوهات طفيفة في التردد.
• دقة محدودة: يمكن أن يُدخِل عدم دقة، خاصةً عند الترددات العالية، بسبب تأثير تشوه التردد.

على الرغم من هذه القيود، يبقى التحويل الثنائي الخطي أداة قوية لتصميم المرشحات الرقمية، مما يسمح بتطوير مرشحات رقمية فعالة وكفاءة من تصاميم المرشحات التناظرية الموجودة. يلعب دورًا حيويًا في سد الفجوة بين معالجة الإشارات التناظرية والرقمية، مما يمهد الطريق للاستخدام الواسع النطاق للمرشحات الرقمية في تطبيقات متنوعة.