يُعد توزيع برنولي، وهو مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات، جزءًا لا غنى عنه في العديد من التطبيقات داخل الهندسة الكهربائية. فهو يُنمذج نتيجة حدث واحد مع احتمالية نتيجتين فقط، غالبًا ما يُمثّل "النجاح" (1) و "الفشل" (0). هذا التوزيع البسيط ظاهريًا يمتلك قوة هائلة في تحليل وسلوك العديد من الأنظمة الكهربائية.
فهم توزيع برنولي
تخيل قذف عملة معدنية منحازة. ستكون النتيجة إما "وجه" (1) أو "كتف" (0)، مع احتمال ظهور "وجه" يُرمز له بـ α، حيث 0 ≤ α ≤ 1. هذا السيناريو يُمثل تمامًا توزيع برنولي. تُعرّف دالة الكتلة الاحتمالية (PMF)، التي تُحدد احتمالية كل نتيجة ممكنة، بالشكل التالي:
p(x) = (1 − α)^x α^(1−x)
حيث x = 0 أو 1.
التطبيقات في الهندسة الكهربائية
يُستخدم توزيع برنولي كحجر أساس لتحليل مجموعة واسعة من الظواهر في الهندسة الكهربائية، بما في ذلك:
ما وراء الأساسيات: تجارب برنولي وتوزيع ذات الحدين
تُؤدي تكرار التجارب المستقلة لبرنولي، حيث أن لكل تجربة نفس احتمال النجاح، إلى توزيع ذات الحدين. يُحسب هذا التوزيع احتمال الحصول على عدد معين من النجاحات في عدد ثابت من التجارب. فهو يُبنى على توزيع برنولي الأساسي، مما يُوسّع فائدته في نمذجة أنظمة كهربائية أكثر تعقيدًا.
الخلاصة
يُقدم توزيع برنولي، ببساطته وقوته، أداة قيّمة لِمهندسي الكهرباء في تحليل وتوقع مختلف الظواهر. بدءًا من تقييم موثوقية المكونات إلى فهم سلوك قنوات الاتصال الرقمية، تُعدّ تطبيقاته واسعة النطاق وضرورية لضمان قوة وفعالية الأنظمة الكهربائية. يُعدّ فهم هذا التوزيع أمرًا بالغ الأهمية لأي مهندس كهربائي يسعى لتصميم وتحليل حلول موثوقة ومبتكرة في عالم اليوم.
Instructions: Choose the best answer for each question.
1. What is the probability mass function (PMF) of a Bernoulli distribution with success probability α? a) p(x) = α^x (1 - α)^(1-x) b) p(x) = (1 - α)^x α^(1-x) c) p(x) = α^x (1 - α)^x d) p(x) = (1 - α)^x α^x
b) p(x) = (1 - α)^x α^(1-x)
2. Which of the following is NOT a typical application of the Bernoulli distribution in electrical engineering? a) Reliability analysis of components b) Digital communication channel analysis c) Modeling of power system load fluctuations d) Signal processing for noise reduction
c) Modeling of power system load fluctuations
3. In a Bernoulli distribution, what does the parameter α represent? a) The probability of failure b) The probability of success c) The number of trials d) The expected value of the distribution
b) The probability of success
4. Which of the following scenarios can be modeled using a Bernoulli distribution? a) The number of defective chips in a batch of 100 b) The height of a randomly selected student in a class c) The temperature of a room at a specific time d) The outcome of a single flip of a biased coin
d) The outcome of a single flip of a biased coin
5. What is the relationship between the Bernoulli distribution and the Binomial distribution? a) The Bernoulli distribution is a special case of the Binomial distribution. b) The Binomial distribution is a special case of the Bernoulli distribution. c) They are completely independent distributions. d) The Binomial distribution is the sum of multiple Bernoulli distributions.
a) The Bernoulli distribution is a special case of the Binomial distribution.
Problem: A certain type of electrical relay has a probability of failure of 0.05. If you have 20 of these relays in a system, what is the probability that exactly 2 relays will fail?
Instructions:
Here's how to solve the problem:
1. **Parameters:**
2. **Binomial Distribution Formula:**
P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1 - p)^(n - k)
3. **Calculation:**
P(X = 2) = (20 choose 2) * (0.05)^2 * (0.95)^18 ≈ 0.1887
Therefore, the probability of exactly 2 relays failing out of 20 is approximately 0.1887 or 18.87%.
Comments