في مجال نظرية التحكم، فإن فهم سلوك نظام ما تحت مدخلات مختلفة أمر بالغ الأهمية لتحقيق النتائج المرجوة. بالنسبة للأنظمة المنفصلة الزمن، يعد مفهوم **مجموعة الأهداف** أساسيًا في هذا المسعى. تستعرض هذه المقالة مفهوم مجموعة الأهداف، مع تسليط الضوء على أهميتها في تحليل قابلية التحكم في الأنظمة المنفصلة.
تُمثل مجموعة الأهداف، التي تُرمز إليها بـ K(t₀, t₁)، مجموعة جميع الحالات الممكنة التي يمكن لنظام منفصل الوصول إليها في الوقت t₁ انطلاقًا من شروط أولية صفرية في الوقت t₀. بمعنى آخر، تُلخص "الفضاء القابل للوصول إليه" للنظام خلال الفترة الزمنية المحددة.
رياضياً، يُعرّف مجموعة الأهداف كالتالي:
K(t₀, t₁) = {x ∈ ℝⁿ | x = Σ_(j=t₀)^(t₁-1) F(t₁, j+1)B(j)u(j)}
حيث:
يُؤكد هذا التعريف على أن مجموعة الأهداف تُنشأ بتطبيق جميع تسلسلات المدخلات الممكنة u(j) خلال الفترة [t₀, t₁] ومراقبة متجهات الحالة الناتجة x.
يرتبط مفهوم مجموعة الأهداف ارتباطًا وثيقًا بمفهوم **قابلية التحكم**. يُقال إن نظام منفصل **قابل للتحكم** في الفترة [t₀, t₁] إذا كان من الممكن الوصول إلى أي حالة x في فضاء الحالة من الحالة الأولية x(t₀) باستخدام تسلسل مدخلات مناسب.
من المهم ملاحظة أن قابلية التحكم لنظام منفصل داخل فترة زمنية معينة مرتبطة مباشرة بمجموعة أهدافه. يكون النظام **قابل للتحكم** في [t₀, t₁] إذا وفقط إذا امتدت مجموعة أهدافه K(t₀, t₁) إلى فضاء الحالة بأكمله ℝⁿ.
مثال: ضع في اعتبارك نظامًا ذو فضاء حالة ثنائي الأبعاد. إذا كانت مجموعة الأهداف K(t₀, t₁) عبارة عن خط في هذا الفضاء، فإن النظام غير قابل للتحكم لأنه لا يمكنه الوصول إلى الحالات خارج هذا الخط. ومع ذلك، إذا كانت K(t₀, t₁) تُحيط بالفضاء ثنائي الأبعاد بأكمله، فإن النظام قابل للتحكم.
يُثبت مفهوم مجموعة الأهداف قيمته في العديد من التطبيقات المتعلقة بقابلية التحكم:
تُعد مجموعة الأهداف مفهومًا أساسيًا في تحليل الأنظمة المنفصلة الزمن. تُوفر أداة قوية لفهم قابلية التحكم، وتصميم وحدات تحكم مثلى، وإجراء تحليل قابلية الوصول. من خلال الاستفادة من الأفكار المستقاة من مجموعة الأهداف، يمكن للباحثين والمهندسين اكتساب فهم أعمق لسلوك النظام وتطوير استراتيجيات تحكم فعالة لمجموعة واسعة من التطبيقات.
Instructions: Choose the best answer for each question.
1. What does the attainable set, K(t₀, t₁), represent?
a) The collection of all possible states a system can reach at time t₁ starting from zero initial conditions at time t₀. b) The set of all possible input sequences that can be applied to the system. c) The set of all possible initial states the system can start from. d) The set of all possible output signals the system can produce.
a) The collection of all possible states a system can reach at time t₁ starting from zero initial conditions at time t₀.
2. Which of the following is NOT a factor in determining the attainable set?
a) The initial state of the system. b) The input matrix at each time step. c) The state transition matrix at each time step. d) The output matrix at each time step.
d) The output matrix at each time step.
3. A discrete system is considered controllable in the interval [t₀, t₁] if:
a) Its attainable set is empty. b) Its attainable set spans the entire state space. c) Its attainable set is a single point. d) Its attainable set is a line in the state space.
b) Its attainable set spans the entire state space.
4. What is the practical significance of the attainable set concept?
a) It helps determine the stability of a system. b) It helps design controllers that achieve desired states. c) It helps understand the system's response to different inputs. d) All of the above.
d) All of the above.
5. Which of the following is NOT a potential application of the attainable set concept?
a) Analyzing the controllability of a system. b) Designing optimal control strategies. c) Predicting the future behavior of a system. d) Determining the stability of a system.
d) Determining the stability of a system.
Problem: Consider a discrete-time system with the following state-space representation:
Task: Determine the attainable set K(0, 2) for this system.
The attainable set K(0, 2) is the set of all possible states the system can reach at time t = 2, starting from zero initial conditions at time t = 0.
We can calculate the attainable set using the formula:
K(0, 2) = {x ∈ ℝ² | x = Σ_(j=0)^(1) F(2, j+1)B(j)u(j)}
For t = 2, j = 0 and j = 1.
So, we have:
x = F(2, 1)B(0)u(0) + F(2, 2)B(1)u(1)
F(2, 1) = F * F = [[1 1], [0 1]] * [[1 1], [0 1]] = [[1 2], [0 1]]
F(2, 2) = F = [[1 1], [0 1]]
Therefore,
x = [[1 2], [0 1]] * [[1], [0]] * u(0) + [[1 1], [0 1]] * [[1], [0]] * u(1)
x = [[1], [0]] * u(0) + [[1], [0]] * u(1)
x = [[u(0) + u(1)], [0]]
Thus, the attainable set K(0, 2) is the set of all states of the form [u(0) + u(1), 0], where u(0) and u(1) are arbitrary inputs.
This means that the system can reach any state on the x-axis, but cannot reach any state with a non-zero y-coordinate. Therefore, the system is not controllable in the interval [0, 2].
Comments