في مجال نظرية التحكم، فإن فهم سلوك نظام ما تحت مدخلات مختلفة أمر بالغ الأهمية لتحقيق النتائج المرجوة. بالنسبة للأنظمة المنفصلة الزمن، يعد مفهوم **مجموعة الأهداف** أساسيًا في هذا المسعى. تستعرض هذه المقالة مفهوم مجموعة الأهداف، مع تسليط الضوء على أهميتها في تحليل قابلية التحكم في الأنظمة المنفصلة.
تُمثل مجموعة الأهداف، التي تُرمز إليها بـ K(t₀, t₁)، مجموعة جميع الحالات الممكنة التي يمكن لنظام منفصل الوصول إليها في الوقت t₁ انطلاقًا من شروط أولية صفرية في الوقت t₀. بمعنى آخر، تُلخص "الفضاء القابل للوصول إليه" للنظام خلال الفترة الزمنية المحددة.
رياضياً، يُعرّف مجموعة الأهداف كالتالي:
K(t₀, t₁) = {x ∈ ℝⁿ | x = Σ_(j=t₀)^(t₁-1) F(t₁, j+1)B(j)u(j)}
حيث:
يُؤكد هذا التعريف على أن مجموعة الأهداف تُنشأ بتطبيق جميع تسلسلات المدخلات الممكنة u(j) خلال الفترة [t₀, t₁] ومراقبة متجهات الحالة الناتجة x.
يرتبط مفهوم مجموعة الأهداف ارتباطًا وثيقًا بمفهوم **قابلية التحكم**. يُقال إن نظام منفصل **قابل للتحكم** في الفترة [t₀, t₁] إذا كان من الممكن الوصول إلى أي حالة x في فضاء الحالة من الحالة الأولية x(t₀) باستخدام تسلسل مدخلات مناسب.
من المهم ملاحظة أن قابلية التحكم لنظام منفصل داخل فترة زمنية معينة مرتبطة مباشرة بمجموعة أهدافه. يكون النظام **قابل للتحكم** في [t₀, t₁] إذا وفقط إذا امتدت مجموعة أهدافه K(t₀, t₁) إلى فضاء الحالة بأكمله ℝⁿ.
مثال: ضع في اعتبارك نظامًا ذو فضاء حالة ثنائي الأبعاد. إذا كانت مجموعة الأهداف K(t₀, t₁) عبارة عن خط في هذا الفضاء، فإن النظام غير قابل للتحكم لأنه لا يمكنه الوصول إلى الحالات خارج هذا الخط. ومع ذلك، إذا كانت K(t₀, t₁) تُحيط بالفضاء ثنائي الأبعاد بأكمله، فإن النظام قابل للتحكم.
يُثبت مفهوم مجموعة الأهداف قيمته في العديد من التطبيقات المتعلقة بقابلية التحكم:
تُعد مجموعة الأهداف مفهومًا أساسيًا في تحليل الأنظمة المنفصلة الزمن. تُوفر أداة قوية لفهم قابلية التحكم، وتصميم وحدات تحكم مثلى، وإجراء تحليل قابلية الوصول. من خلال الاستفادة من الأفكار المستقاة من مجموعة الأهداف، يمكن للباحثين والمهندسين اكتساب فهم أعمق لسلوك النظام وتطوير استراتيجيات تحكم فعالة لمجموعة واسعة من التطبيقات.
Comments